Teoremas sobre Continuidad
Teorema: Si f y g son continuas en a entonces:
f + g es continua en a
f – g es continua en a
f x g es continua en a
f ÷ g es continua en a suponiendo que g(a) ? 0
Teorema: Una función polominal es continua en cualquier valor de las variables independientes
Continuidad en un Intervalo
Definición: Continuidad por la derecha
Se dice que f es continua por la derecha del número a si y solo si satisface las siguientes condiciones:
Continuidad por la izquierda
Se dice que f es continua por la izquierda del número a si y solo si,
Continuidad en un Intervalo
Definición: Una función cuyo dominio incluye el intervalo cerrado [a,b] se dice que es continua en [a,b] si y solo si es continua en el intervalo abierto (a,b), así como es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b
(Gp:) a
(Gp:) b
Definición: f es continua en [a,b) si y solo si es continua en (a,b) y continua por la derecha de a
Definición: f es continua en (a,b] si y solo si es continua en (a,b) y continua por la izquierda de b
Diferenciabilidad y Continuidad
La continuidad de una función no implica la diferenciabilidad de dicha función en ese número
Sin embargo, la diferenciabilidad si implica la continuidad
Teorema: Si una función es diferenciable en x1, entonces f es continua en x1
Derivada de una Función
La pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto (x, f(x))
(Gp:) x
(Gp:) f(x)
Valores Máximos y Mínimos de una Función de una Variable
La derivada puede utilizarse para determinar los puntos donde la tangente es horizontal (derivada = 0)
Extremos Relativos
Definición: La función f se dice que tiene un valor máximo relativo en “c”, si existe un intervalo abierto que contenga a “c” sobre el cual está definida la función f tal que f(c) = f(x) para toda x en este intervalo
Valores Máximos y Mínimos de una Función de una Variable
Extremos Relativos
Definición: La función f se dice que tiene un valor mínimo relativo en “c”, si existe un intervalo abierto que contenga a “c” sobre el cual f está definido tal que f(c) = f(x) para toda x en este intervalo
¿Dónde Localizar los Posibles Valores Extremos?
Teorema: Si f(x) existe para todos los valores de x en el intervalo abierto (a,b) y si f tiene un extremo relativo en “c”, donde a < c < b, entonces f ´(c) existe y f ´(c) = 0
Si f es una función diferenciable, los únicos lugares posibles para puntos extremos es donde f ´(x) = 0
¿Dónde Localizar los Posibles Valores Extremos?
Sin embargo, f ´(x) puede ser cero y no obstante en ese valor f no tiene un valor extremo (Punto de Silla)
Más aún f puede tener un extremo relativo en un número y f’ puede no existir allí
¿Dónde Localizar los Posibles Valores Extremos?
En Resumen
Si una función está definida en un número “c” es una condición necesaria, pero no suficiente, para que f tenga un extremo relativo en “c” que f ´(c) = 0 ó que f ´(c) no exista
Definición: Si c es un número en el dominio de la función f y si f ´(c) = 0 ó f ´(c) no existe, entonces “c” se llama punto crítico de f
Extremos Absolutos
Frecuentemente estamos en una función definida en un intervalo dado, y deseamos encontrar el valor mayor o menor de la función en el intervalo
Estos intervalos pueden ser cerrados, abiertos o cerrados a un extremo y abierto en otro.
El valor máximo absoluto es el mayor valor dentro del intervalo, y el valor mínimo absoluto es el mínimo valor de la función dentro del intervalo
Extremos Absolutos en un Intervalo
Definición: La función f se dice que tiene un valor máximo absoluto en un intervalo, si existe algún número “c” en el intervalo tal que f(c) = f(x) para toda x en el intervalo. En tal caso f(c) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo
Definición: La función f se dice que tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número “c” en el intervalo tal que f(c) = f(x) para toda x en el intervalo. En tal caso f(c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo
Valor extremo absoluto es un mínimo o máximo absoluto de la función en el intervalo
También se puede hablar de extremo absoluto de una función cuando no se especifica ningún intervalo, en este caso se dice que es un extremo global de la función
Teorema del Valor Extremo
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [a,b]
Un extremo absoluto de una función en un intervalo cerrado debe ser un extremo relativo o ser un valor de la función en un extremo del intervalo
Procedimientos para la determinación de extremos absolutos en intervalo cerrado
Identificar valores de la función en los números críticos de f en [a,b]
Encontrar f(a) y f(b)
El mayor de estos es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto
Teorema de Rolle (Michel Rolle 1652-1719)
Sea f una función continua en un intervalo cerrado, diferenciable en el intervalo abierto (a,b) y sean f(a) = 0 y f(b) = 0, existe al menos un número “c” entre a y b donde f ´(c) = 0
Debe notarse que puede haber más de un número en el intervalo abierto para el cual la derivada es cero
Teorema del Valor Medio
Sea f una función continua tal que:
es continua en el intervalo cerrado [a,b]
es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)
entonces existe un número “c” en el intervalo abierto (a,b) tal que:
La tangente RT es paralela a la secante RS
Funciones Crecientes y Decrecientes y Criterio de la Primera Derivada
Definición: Una función definida en un intervalo se dice que es creciente en ese intervalo si y solo si:
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 donde x1 y x2 son números del intervalo
Definición: Una función definida en un intervalo se dice que es decreciente en ese intervalo si y solo si:
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 donde x1 y x2 son números del intervalo
Si una función es creciente o decreciente en un intervalo, entonces se dice que f es monótona
Funciones Crecientes y Decrecientes y Criterio de la Primera Derivada
Teorema: Si una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b)
Si f ´(x) > 0 para toda x ? es creciente en el intervalo
Si f ´(x) < 0 para toda x ? es decreciente en el intervalo
Criterio de la Primera derivada para Extremos Relativos
Si una función continua en el intervalo abierto (a,b) que contiene un número crítico “c” y f es diferenciable, excepto, posiblemente en “c” .
Si c es un extremo entonces:
f ´(x1) > 0 donde x1 < c
f ´(x2) > 0 donde c < x2
en este caso c es un máximo relativo
Máximo Relativo
Lo contrario aplica para Mínimo Relativo ?
Criterio de la Segunda Derivada
Sea “c” un número crítico de una función en la cual f ´(c) = 0 y f existe para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a “c”. Entonces si f ´´(c) existe y,
Si f ´´(c) < 0, f tiene un valor máximo relativo en “c”
Si f ´´(c) > 0, f tiene un valor mínimo relativo en “c”
Nótese que si f ´´(c) = 0 nada puede concluirse
Teorema: Sea f una función continua en el intervalo I que contiene al número crítico c. Si f(c) es un extremo relativo de f en I y es el único, entonces f(c) es un extremo absoluto de f en I. Además,
Si f(c) es un máximo relativo ? es un máximo absoluto
Si f(c) es un mínimo relativo ? es un mínimo absoluto
Formula de Taylor (Brook Taylor 1685 – 1731)
Ciertas funciones pueden ser aproximadas por polinomios y el polinomio puede ser usado cuando la diferencia es pequeña
Teorema: Sea f una función tal que f y sus n primeras derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a,b]. Además, fn+1(x) existe para toda x en el intervalo abierto (a,b). Entonces hay un número ? en el intervalo abierto (a,b) tal que,
Si n = 0 ? f(b) = f(a) + f ´(?)(b – a) ? Teorema del valor medio
Residuo
Funciones de Varias Variables (Campos Escalares)
Continuidad de Campos Escalares
Sea f una función de varias variables y a un vector de variables, se dice que f es continua en a si
si esta falla entonces existe una discontinuidad esencial
si esta falla entonces existe una discontinuidad evitable
Funciones de Varias Variables (Campos Escalares)
Operaciones sobre funciones continuas
Si f y g son continuas en a entonces:
f + g
f – g
f x g
f ÷ g es continua, si g(a) ? 0
Son continuas
Derivada direccional
La derivada direccional permite tener información del comportamiento de la función si sus variables se modifican siguiendo el sentido indicado por el vector gradiente
La Derivada direccional de f en p según el vector unitario ? [ D? f(p) ] es el producto escalar del gradiente en p, por ? :
D? f(p) = ?f(p)T ?
¿En qué sentido deberían desplazarse las variables de f, partiendo del punto p, para que los valores de f crezcan más rápidamente?
Derivada direccional
Como la rapidez está dada por : ?f(p)T ?
En esta expresión se suponen ya conocidos f y p; faltando conocer “?” que haga máximo el producto escalar
Siendo ?f(p)T ? = ??f(p)?. ??? Cos ? = ??f(p)?.(1). Cos ?
Donde : ? , es el ángulo formado por los vectores ?f(p) y ?
?f(p)T ?, será máximo si y sólo si Cos ? es máximo, ósea cuando ? = 0 y ?f(p) con ? son colineales. Lo cual significa que el vector unitario ? debe tener el mismo sentido que el vector gradiente de f en p
significa que el vector gradiente de una función f en un punto p, ?f(p), de su dominio se orienta en el sentido en el cual f crece mas rápidamente
Derivada direccional
f(x,y) = -20 + 3×2 +y2
?f = [6x
2y]
Gradiente
Derivadas Parciales: Son derivadas direccionales especiales, las direcciones son las de los ejes coordenados
Definición: Si f:u ? R, u ? Rn, la derivada de f en un punto x0 ? u es el vector cuyos componentes son las derivadas parciales de f en x0. A esto se le llama Gradiente
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Teorema: Si f : u ? R, u ? Rn, es diferenciable en x entonces es continua en x
El reciproco es falso: Una función puede ser continua sin ser diferenciable
Teorema: (Condición de suficiencia de diferenciabilidad) Si f : u ? R, u ? Rn, posee derivadas parciales continuas en x0 ? u entonces f es diferenciable en x0
Sin embargo, una función puede ser diferenciable en un punto sin que sus derivadas parciales sean continuas, en dicho punto
Definición: Decimos que una función es de clase Ck en u ? Rn, y escribimos f ? Ck(u), si todas sus derivadas parciales de orden k existen y son continuas en u
Formula de Taylor en Varias Variables
En una notación mas convencional y compacta
donde,
Gradiente
Hessiano
Extensión de los Criterios de Existencia de Máximo y Mínimos
Los puntos críticos son aquellos donde ?f = 0 o no existe
Alguna medida de “positividad” del Hessiano nos dirá si es un máximo o un mínimo
Teorema de Weierstrass (Extensión del teorema de Valor Extremo):Una función continua f, definida en un conjunto compacto S cerrado y acotado (definido y no se va a infinito) tiene al menos un mínimo y un máximo en S
Formas cuadráticas
Definición: Una forma cuadrática es cualquier campo escalar (Rn ? R), definido para todo x en Rn que sigue la siguiente forma: donde aij ? R puede ser cero
Una forma cuadrática no incluye ningún término lineal
Cualquier forma cuadrática puede ser expresada en notación matricial comodonde aij son elementos de la matriz A
Formas cuadráticas
Es claro quepara todo i ? j
Por lo tanto una forma cuadrática puede ser representada equivalentemente por muchas matrices A o conjuntos de coeficientes aij
Sin embargo, para una forma cuadrática q(x) dada existe sólo una matriz simétrica (cuadrada tal que D = DT) que satisface q(x) = xTDx cuyos elementos están definidos por:para todo i ? j
Formas cuadráticas
Ejemplo
Propiedades de las formas cuadráticas
Definición: la forma cuadrática q(x) = xTDx es definida positiva si q(x) > 0 para todo x ? 0 en En
Definición: la forma cuadrática q(x) = xTDx es semidefinida positiva si q(x) = 0 para todo x ? En, pero q(x) no es definida positiva
Definición: la forma cuadrática q(x) = xTDx es definida negativa si q(x) < 0 para todo x ? 0 en En
Definición: la forma cuadrática q(x) = xTDx es semidefinida negativa si q(x) ? 0 para todo x ? En, pero q(x) no es definida negativa
La matriz D (única y simétrica) de una forma cuadrática definida positiva es definida positiva
Propiedades de las formas cuadráticas
Si no satisface ninguna de las cuatro definiciones anteriores se dice que la forma cuadrática es indefinida. Esto es si q(x1) > 0 y q(x2) < 0 es indefinida, donde x1 y x2 ? Rn
Es definida positiva
Es definida negativa
Propiedades de las formas cuadráticas
Sea D una matriz simétrica de n x n definida positiva, entonces:
D-1 existe
D-1 es definida positiva
ADAT es semidefinida positiva para cualquier matriz A mxn
Clasificación de formas cuadráticas
Método de los autovalores
Sea q(x) = xTDx una forma cuadrática, con D matriz simétrica. Sean ?1, ?2,… ?n los n autovalores de la matriz D. Entonces:
q(x) es definida positiva si y sólo si ?i > 0 ? i
q(x) es definida negativa si y sólo si ?i < 0 ? i
q(x) es semidefinida positiva si y sólo ?i ? 0 ? i, siendo al menos un ?j = 0
q(x) es semidefinida negativa si y sólo ?i ? 0 ? i, siendo al menos un ?j = 0
q(x) es indefinida si y sólo si algún ?i > 0 y algún ?j < 0
Funciones Convexas
Estamos particularmente interesados en la optimización de este tipo de funciones sobre los llamados conjuntos convexos
Definición: Un conjunto X en En(Rn) es convexo si y sólo si para dos puntos cualquiera x1 y x2 en X y cualquier valor escalar 0 ? ? ? 1, el punto x = ? x1 + (1 – ?) x2 también está dentro de X
Una esfera, un triángulo, el espacio Rn, una línea recta y un punto son conjuntos convexos. Un hiperplano también es un conjunto convexo
Funciones Convexas
Definición: Una función escalar f(x) es una función convexa definida sobre un conjunto convexo X en En si para dos puntos cualquiera x1 y x2 en X donde 0 ? ? ? 1
Funciones Convexas
Las funciones convexas tienen una caracterización geométrica simple e informativa
Teorema: Cualquier función lineal f(x) = cTx es tanto cóncava como convexa
Teorema: Si f(x) es convexa ? -f(x) es cóncava (y viceversa)
Teorema: La suma de 2 o más funciones convexas es convexa
Teorema: Cualquier forma cuadrática semidefinida positiva q(x) = xTDx donde D es simétrica, es una función convexa en todo En, y si D es definida positiva es estrictamente convexa
Teorema: Cualquier forma cuadrática semidefinida negativa q(x) = xTDx donde D es simétrica, es una función cóncava en todo En, y si D es definida negativa es estrictamente cóncava
Funciones Convexas
Dada una función cuadrática representada como es convexa o cóncava si q(x) es convexa o cóncava
Podemos notar la similitud con el polinomio de Taylor
Funciones Convexas
Teorema: Si la función f(x) está definida y es convexa sobre un conjunto convexo X en En, luego cualquier mínimo local (con restricción) de f(x) en X es un mínimo global en X
Teorema: Si la función f(x) está definida y es cóncava sobre un conjunto convexo X en En, luego cualquier máximo local (con restricción) de f(x) en X es un máximo global en X
Teorema: Si una función f(x) es convexa sobre un conjunto X compacto y convexo (cerrado y limitado) en En entonces al menos un máximo global se encuentra sobre el borde de X
Criterios de la primera y segunda derivada
Teorema: Supongamos que f(x) tiene primeras derivadas parciales continuas. Luego f(x) es cóncava sobre alguna región R en En si y sólo si similarmente, f(x) es convexa sobre alguna región R en En si y sólo si
Criterios de la primera y segunda derivada
Teorema: Sea f(x) una función ? C2 (segundas derivadas parciales existen y son continuas). Entonces f(x) es convexa sobre una región R en En si y sólo si su Hessiano es definido o semidefinido positivo para toda x de la región R
Criterios de la primera y segunda derivada
Teorema de Schwartz: Si f(x,y) es tal que son continuas en un entorno de un punto (x0,y0), entonces existe y se cumple que
Como la matriz Hessiano es simétrica la definición definida y semidefinida positiva para formas cuadráticas es aplicable directamente
Una función puede ser convexa o concava y su Hessiano puede “desaparecer” en algunos puntos (matriz de ceros)
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